Konsequent Preis Und Hedging Of An Fx Optionen Buch

Konsequente Preisgestaltung und Absicherung eines FX-Optionsbuchs Transkription 1 Konsequente Preisgestaltung und Absicherung eines FX-Optionsbuches L. Bisesti, A. Castagna und F. Mercurio 1 Einleitung In den Devisen - (FX) Optionen-Markt-weg von den Geldoptionen Sind ganz aktiv gehandelt, und Zitate für die gleiche Art von Instrumenten sind jeden Tag mit sehr engen Spreads (zumindest für die Hauptwährungen). Dies ermöglicht es, ein Verfahren zur Extrapolation der impliziten Volatilitäten von nicht zitierten Optionen zu erarbeiten, um uns zuverlässige Daten zu liefern, mit denen man eine beliebige Alternative zum Black and Scholes (1973) (BS) Modell kalibrieren kann. Brigo, Mercurio und Rapisarda (2004) haben eine Erweiterung des BS-Modells vorgeschlagen, bei der sowohl die Volatilität als auch die Zinssätze auf sehr einfache Weise stochastisch sind. In diesem Modell, mit ungewisser Volatilität und unsicheren Zinssätzen (UVUR), entwickelt sich das zugrunde liegende Vermögen als geometrische Brownsche Bewegung mit zeitabhängigen Koeffizienten, die anfangs nicht bekannt sind und deren Wert zufällig zu einer infinitesimalen zukünftigen Zeit gezeichnet wird. Wie von den Autoren selbst betont wird, kann das UVUR-Modell sehr allgemeine Volatilitätsflächen aufnehmen und im Falle des FX-Optionsmarktes eine perfekte Anpassung an die wichtigsten Volatilitätszitate erreichen. In diesem Artikel testen wir die Güte dieses Modells, soweit es einige grundlegende praktische Implikationen betrifft. Zunächst zeigen wir selbst die Anpassungsfähigkeit des Modells mit einem Beispiel aus realen Marktdaten. Wir unterstützen dann die Güte unserer Kalibrierung, indem wir eine Diagnose über die von dem Modell implizierten Vorwärtsvolatilitäten liefern. Wir vergleichen auch die Modellpreise einiger exotischer Optionen mit den entsprechenden, die durch eine Marktpraxis gegeben werden. Schließlich zeigen wir, wie man geschickte Empfindlichkeiten auf Volatilität ableitet und wie man dementsprechend ein typisches Optionsbuch absichert. Der Artikel ist wie folgt organisiert. Abschnitt 2 enthält eine kurze Beschreibung des FX-Optionsmarktes und seiner Volatilitätszitate. Abschnitt 3 stellt das UVUR-Modell vor und beschreibt seine analytische Traktierbarkeit. Abschnitt 4 behandelt ein Beispiel für die Kalibrierung auf reale Marktdaten. Abschnitt 5 veranschaulicht eine Vorwärtsflüchtigkeitsfläche und einige Vorwärtsvolatilitätskurven, die durch die zuvor kalibrierten Parameter impliziert werden. Abschnitt 6 befasst sich mit der Frage der Preisgestaltung Produkt - und Geschäftsentwicklung und FX Options Trading, Banca IMI, Corso Matteotti, 6, 20121, Mailand, Italien. Wir danken Aleardo Adotti, Leiter der Produkt - und Geschäftsentwicklung bei Banca IMI, für seine ständige Unterstützung und Ermutigung und Francesco Rapisarda und Micol Ghisoni für hilfreiche Diskussionen. 1 2 exotische Optionen. In Abschnitt 7 wird ein explizites Beispiel für die Volatilitätsabsicherung für ein gegebenes Optionsbuch betrachtet. Abschnitt 8 schließt den Artikel ab. 2 Eine kurze Beschreibung des FX-Optionsmarktes Eine stilisierte Tatsache im Devisenmarkt ist, dass die Optionen je nach Delta und nicht in ihrem Streik wie im anderen Optionsmarkt zitiert werden. Das spiegelt grundsätzlich die klebrige Delta-Regel wider, wonach implizite Volatilitäten von Tag zu Tag nicht variieren, wenn die verwandte Moneyness gleich bleibt. Um es anders auszudrücken, wenn sich der zugrunde liegende Wechselkurs bewegt und sich das Delta einer Option entsprechend ändert, muss dann eine andere implizite Volatilität in die entsprechende Black and Scholes (1973) Formel eingefügt werden. Der FX-Optionsmarkt zeichnet sich durch drei Volatilitätszitate bis zu relativ langen Abläufen aus (zumindest für den EURUSD-Wechselkurs): i) das Geld (ATM), ii) die Risikoumkehr (RR) für den 25 Anruf und Put, iii) den (vega-gewichteten) Schmetterling (VWB) mit 25 Flügeln. 1 Aus diesen Marktzitaten kann man leicht die impliziten Volatilitäten für die 25 Aufruf und Putze ableiten, und dann bauen sie auf ein ganzes Lächeln für die Reichweite von einem 5 an einen 5 anruf Die Marktzitate Wir bezeichnen mit S (t) Der Wert eines gegebenen Wechselkurses, sagen die EURUSD, zum Zeitpunkt t. Wir setzen S 0: S (0) gt 0 und bezeichnen jeweils durch p d (0, t) und P f (0, t) die inländischen und ausländischen Rabattfaktoren für die Reife t. Wir betrachten dann eine Marktreife T. Das Delta, zum Zeitpunkt 0, eines europäischen Aufrufs mit Streik K, Reife T und Volatilitätssigma ist gegeben durch (ln S 0 P f (0, T) P f KP (0, T) Phi) 1 d (0, T) 2 sigma2 T sigma, T wobei Phi die normale Normalverteilungsfunktion bezeichnet. 3 Die Marktzitate für die Fälligkeit T sind wie folgt definiert. Die ATM-Volatilität ist diejenige einer 0-Straddle, deren Streik für jedes gegebene Verfall, so gewählt wird, dass das verwandte Put und Call das gleiche aber mit verschiedenen Zeichen haben. Mit der Sigma AT M die ATM-Volatilität für den Verfall T kann der ATM-Streik K AT M sofort abgeleitet werden: P f (0, T) K AT MS 0 P d (0, T) e 1 2 sigma2 AT MT (1 ) Die RR ist eine Struktur, wo man einen Anruf kauft und einen Put mit einem symmetrischen Delta verkauft. Die RR wird als der Unterschied zwischen den beiden impliziten Volatilitäten, Sigma 25 c und Sigma 25 p 1 zitiert. Entsprechend dem Marktjargon fallen wir das Zeichen nach dem Delta-Level ab, so dass ein 25-Rufen eines ist, dessen Delta analog ist , Ein Drittel ist derjenige, dessen Delta ist, dass der Axt-Aufruf äquivalent zu einem (P f (0, T) x) put ist, wobei P f unten definiert ist. 3 Beachten Sie, dass dieses Delta als diskontierte Wahrscheinlichkeit des Endes des Geldes unter dem mit dem numeraire S (t) P f (0, t) verbundenen Maß interpretiert werden kann. 2 3, um in die Black - und Scholes-Formel für den Aufruf und den Satz zu stecken. Wenn man einen solchen Preis in volatilitätsbedingter Weise durch sigma RR annimmt, haben wir: sigma RR sigma 25 c sigma 25 p (2) Die VWB wird durch den Verkauf einer Menge von ATM-Straddle aufgebaut und kauft eine Menge von 25 erwürgerten, in solch einem Weg die resultierende Struktur hat eine Null Vega. Der Skema VWB, Sigma VWB, ist dann definiert durch: Sigma VWB Sigma 25 c Sigma 25 p 2 Sigma AT M (3) Für das gegebene Verfall T können die beiden impliziten Volatilitäten Sigma 25 c und Sigma 25 p sein Sofort identifiziert durch die Lösung eines linearen Systems. Wir erhalten: Sigma 25 c Sigma AT M Sigma VWB Sigma RR (4) Sigma 25 p Sigma AT M Sigma VWB 1 2 Sigma RR (5) Die beiden Streiks, die dem 25 Put und 25 Aufruf entsprechen, können nach einfacher Algebra abgeleitet werden, Aus ihren Definitionen: Pf (0, T) K 25 p S 0 P d (0, T) e Alphasigma 25 p T sigma2 25 p T (6) P f (0, T) K 25 c S 0 P d ( 0, T) Ealphasigma 25 c T sigma2 25 c T wobei alpha: Phi 1 (1 4 P f (0, T)) und Phi 1 die inverse Normalverteilungsfunktion ist. Wir betonen, dass für typische Marktparameter und für Laufzeiten bis zu zwei Jahren Alpha gt 0 und K 25 p lt K AT M lt K 25 c Ausgehend von den impliziten Volatilitäten Sigma 25 p, Sigma 25 c und Sigma AT M und der damit verbundenen Streiks, man kann endlich das ganze implizite Volatilitätslächeln für das Auslaufen T aufbauen. Ein konsequentes Bauverfahren ist z. B. in Castagna und Mercurio (2004) gegeben. Ein Beispiel für Marktvolatilitätszitate ist in Tabelle 1 angegeben und die damit verbundene implizite Volatilitätsoberfläche ist in Abbildung 1 dargestellt. 3 Das UVUR-Modell Wir gehen davon aus, dass sich die Wechselkursdynamik nach dem unsicheren Volatilitätsmodell mit unsicheren Zinssätzen von Brigo, Mercurio, entwickelt Und Rapisarda (2004). In diesem Modell folgt der Wechselkurs unter der inländischen risikoneutralen Maßnahme 4, wobei rd (t) bzw. rf (t) die inländischen und ausländischen momentanen Terminkurse für die Reife t, Sigma 0 und epsilon positive Konstanten sind, W ist Eine Standard-Brownsche Bewegung, und (rho d, rho f, Sigma) ist ein zufälliges Triplett, das von W unabhängig ist und Werte in der Menge von N (gegebenen) Tripletts von deterministischen Funktionen nimmt: (r1 (t), drf 1 (t ), Sigma 1 (t)) mit Wahrscheinlichkeit Lambda 1 (r2 (t), drf (rho d (t), rho f 2 (t), Sigma 2 (t)) mit Wahrscheinlichkeit Lambda 2 (t), Sigma (t )). (Rn d (t), rf N (t), Sigma N (t)) mit der Wahrscheinlichkeit Lambda N, wo die Lambda i strikt positiv sind und zu einem addieren. Der zufällige Wert von (rho d, rho f, sigma) wird zur Zeit t epsilon gezeichnet. Die Intuition hinter dem UVUR-Modell ist wie folgt. Der Wechselkursvorgang ist nichts als eine BS-geometrische Brownsche Bewegung, bei der die Vermögensvolatilität und die (in - und ausländischen) risikofreien Raten unbekannt sind, und man nimmt für sie verschiedene (gemeinsame) Szenarien an. Die Volatilitätsunsicherheit gilt für ein infinitesimales Anfangszeitintervall mit der Länge epsilon, an deren Ende die zukünftigen Werte der Volatilität und der Raten gezogen werden. Daher entwickelt sich S für eine infinitesimale Zeit als geometrische Brownsche Bewegung mit konstantem Volatilitätssyma 0 und dann als geometrische Brownsche Bewegung mit der deterministischen Driftrate ri d (t) rfi (t) und deterministischer Volatilität sigma i (t) Gezogen zur Zeit epsilon. In diesem Modell sind sowohl die Zinssätze als auch die Volatilität auf die einfachste Weise stochastisch. Wie bereits von Brigo, Mercurio und Rapisarda (2004) erwähnt, reicht die Ungewissheit in der Volatilität allein aus, um implizite Volatilitätslächeln (Sigma RR nahe Null) zu berücksichtigen, während die Unsicherheiten bei den Zinssätzen eingeführt werden müssen, um Schiefeffekte zu erfassen (Sigma RR weit Von null). Einstellen von Mikro i (t): ri d (t) rfi (t) für t gt epsilon, micro i (t): rd (t) rf (t) und sigma i (t) sigma 0 für t 0, epsilon und jeder I und tt M i (t): micro i (s) ds, V i (t): sigmai 2 (s) ds i1 0 Wir haben, dass die Dichte von S zum Zeitpunkt t gt epsilon die folgende Mischung von lognormalen Dichten ist : 2Mi (t) SVi & sub2; (t). (8) 0 Dementsprechend sind die europäischen Optionspreise Mischungen der BS-Preise. Zum Beispiel ist der Arbitrage-Preis eines europäischen Aufrufs mit Streik K und Fälligkeit T (NP d (0, T) Lambda i S 0 e M i (t ln S 0) Phi MK i (t) 1 V) (2 2 i ( T) ln S 0 KPhi MK i (t) 1 V) 2 i 2 (T). V i1 i (T) V i (T) (9) 4 0 5 Weitere Details finden Sie in Brigo, Mercurio und Rapisarda (2004). Die analytische Traktierbarkeit zum Anfangszeitraum erstreckt sich auf alle Derivate, die unter dem BS-Paradigma explizit veranschlagt werden können. Tatsächlich können die Erwartungen der Funktionalitäten des Prozesses (7) durch Konditionierung auf die möglichen Werte von (rho d, rho f, sigma) berechnet werden, wodurch Erwartungen an die Funktionale einer geometrischen Brownschen Bewegung genommen werden. Wenn man die Erwartung unter der risikoneutralen Maßnahme annimmt, hat jede reibungslose Auszahlung VT zum Zeitpunkt T einen No-Arbitrage-Preis zum Zeitpunkt t 0, der durch V 0 P d (0, T) N i1 Lambda i EVT (rho d ri d (Ri, rfi, sigma i) (10) wobei V BS 0 (ri d, rfi, sigma i) den Ableitungspreis unter dem BS-Modell bezeichnet, wenn der Risikofreie raten sind ri d und rfi und die anlage (zeitabhängige) flüchtigkeit ist sigma i. Die Vorteile des Modells (7) lassen sich wie folgt zusammenfassen: i) explizite Dynamik ii) explizite Randdichte zu jeder Zeit (Mischung von Lognormalen mit unterschiedlichen Mitteln und Standardabweichungen) iii) explizite Optionspreise (Mischungen von BS-Preisen) und mehr In der Regel explizite Formeln für Mittelwerte des europäischen Typs zum Anfang iv) explizite Übergangsdichten und damit zukünftige Optionspreise v) explizite (annähernde) Preise für Barrierewahlen und andere Exotika 4 vi) potenziell perfekte Anpassung an irgendwelche (lächelnförmige oder Skewatched) implizite Volatilitätskurven oder Flächen. 4 Ein Beispiel für die Kalibrierung Wir sehen ein Beispiel für die Kalibrierung auf EURUSD-Marktdaten per 12. Februar 2004, als der Spot-Wechselkurs in Tabelle 1 liegt. Wir melden die Marktanmerkungen von EURUSD Sigma AT M, Sigma RR und Sigma VWB für die relevanten Laufzeiten Von einer Woche (1W) bis zu zwei Jahren (2Y), während in Tabelle 2 die entsprechenden in - und ausländischen Rabattfaktoren berichten. Die implizite Volatilitätsfläche, die aus den grundlegenden Volatilitätszitaten aufgebaut ist, ist in Tabelle 3 für die Hauptdeltas und in Abbildung 1 dargestellt, wo wir für die Klarheit willen die implizite Volatilität in Bezug auf Deltas von 5 bis 95 und für die Gleiche Fälligkeiten wie in Tabelle 1. Um genau die inländischen und ausländischen Null-Coupon-Kurven an der ersten 4 zu passen. Als Beispiel ist die geschlossene Formel für den Preis eines Auf - und Abrufs unter dem UVUR-Modell im Anhang angegeben A. 5 6 Sigma AT M Sigma RR Sigma VWB 1W 11,75 0,50 0,190 2W 11,60 0,50 0,190 1M 11,50 0,60 0,190 2M 11,25 0,60 0,210 3M 11,00 0,60 0,220 6M 10,87 0,65 0,235 9M 10,83 0,69 0,235 1Y 10,80 0,70 0,240 2Y 10,70 0,65 0,255 Tabelle 1: EURUSD-Volatilitätszitationen ab dem 12. Februar T (in Jahren) P d (0, T) P f (0, T) 1W WMMMMMYY Tabelle 2: Inländische und ausländische Diskontfaktoren für die relevanten Laufzeiten. Zeit müssen die folgenden No-Arbitrage-Einschränkungen für jedes t gegeben werden: 5 N i1 N i1 Lambda dh Rt 0 rd i (u) du P d (0, t) Lambda dh Rt 0 rf i (u) du P f ( 0, t) (11) Unsere Kalibrierung erfolgt dann durch Minimierung der Summe der quadratischen prozentualen Unterschiede zwischen Modell - und Marktvolatilitäten der 25 Puts, ATM-Puts und 25 Anrufe unter Beachtung der Einschränkung (11). Angesichts der Tatsache, dass epsilon willkürlich klein ist, haben wir bei der Berechnung der Optionspreise (9) den Grenzfall epsilon 0 berücksichtigt. 6 5 Wir können für die in - und ausländischen risikoneutralen Maßnahmen sicher die gleichen Lambda verwenden, da sich diese Wahrscheinlichkeiten bei der Änderung der Maßnahme aufgrund der Unabhängigkeit zwischen W und (rho d, rho f, Sigma) nicht ändern. 6 Wir bemerken, dass die Einstellung von epsilon 0, sigma 0 nicht mehr ein Optimierungsparameter ist. 6 7 10 p 25 p 35 p ATM 35 c 25 c 10 c 1W 11,96 11,69 11,67 11,75 11,94 12,19 12,93 2W 11,81 11,54 11,52 11,60 11,79 12,04 12,78 1M 11,60 11,39 11,39 11,50 11,72 11,99 12,77 2M 11,43 11,16 11,15 11,25 11,48 11,76 12,60 3M 11,22 10,92 10,00 11,00 11,23 11,52 12,39 6M 11,12 10,78 10,76 10,87 11,12 11,43 12,39 9M 11,04 10,72 10,71 10,83 11,09 11,41 12,39 1Y 11,00 10,69 10,68 10,80 11,06 11,39 12,38 2,7 11,02 10,63 10,60 10,70 10,94 11,28 12,34 Tabelle 3: EURUSD-Volatilitätszitaten ab dem 12. Februar Freiheitsgrade, wir setzen N 2 und nehmen an, dass die Inlandrate rho d deterministisch und gleich rd ist, so dass die erste Einschränkung in (11) automatisch erfüllt wird. In der Tat, an nur zwei Szenarien festzuhalten und die Unsicherheit nur in der Vermögensvolatilität Sigma und Auslandsrate rho f genügt, genügt es, im betrachteten Fall und viele andere auch, um eine perfekte Kalibrierung zu den drei Hauptvolatilitätszitaten für alle Fälligkeiten gleichzeitig zu erreichen . Um das Kalibrierverfahren zu beschleunigen, haben wir auf eine nicht parametrische Schätzung der Funktionen rho f und sigma zurückgegriffen, wobei angenommen wird, daß r f i und sigma i, i 1, 2 über jedes Intervall konstant sind, das durch aufeinanderfolgende Marktreife definiert ist. Auf diese Weise können wir eine iterative Prozedur anwenden und eine implizite Volatilitätskurve zu einer Zeit kalibrieren, beginnend mit der ersten Reife und bis zum letzten. Genauer gesagt setzen wir t 0: 0, t 1: 1W, t 2: 2W, t 3: 1M, t 4: 2M, t 5: 3M, t 6: 6M, t 7: 9M, t 8: 1Y, t 9: 2Y und mit rfi, j und sigma i, j die konstanten Werte, die jeweils durch rfi und sigma i, i 1, 2 in den Intervallen tj 1, tj) j 1 angenommen werden. 9. Bei jeder Reife tj Haben wir dann über rf 1, j, sigma 1, j und sigma 2, j optimiert, die die einzigen freien Parameter im j-ten Schritt sind, die in Formel (9) erscheinen, da wir rf 2, j als Funktion ausgedrückt haben Von rf 1, j durch die zweite Einschränkung in (11) und auch die zuvor erhaltenen Werte r1,1, f. R f 1, j 1, Sigma 1,1. R f 1, j 1 und Sigma 2,1. Rf 1, j 1. Die perfekte Anpassung an drei Hauptvolatilitäten für jede Reife gilt für viele verschiedene Spezifikationen des Wahrscheinlichkeitsparameters lambda 1. Wir haben dann ein optimales Lambda 1 gewählt, indem wir die gesamte implizite Volatilitätsmatrix in Tabelle 3 unter der Einschränkung kalibrieren Dass die drei Hauptzitate genau reproduziert werden. Wir haben Lambda 1 erhalten. Die Werte der anderen Modellparameter sind in Tabelle 4 dargestellt. In Tabelle 5 zeigen wir unsere Kalibrierungsfehler in absoluten Zahlen: Das Modell passt perfekt zu den drei Hauptvolatilitäten für jede Reife und verhält sich für fast jede Stufe Delta. Die Leistung leicht degeneriert für extreme Flügel. Allerdings ist der größte Fehler recht akzeptabel, da auch Markt-Bid-Ask-Spreads sind in der Regel höher. Die perfekte Kalibrierung zu den grundlegenden Volatilitätszitaten ist für einen Vega-Ausfall entlang der Streik - und Reife-Dimensionen wesentlich. Dies ist für die Händler äußerst hilfreich, da es 7 8 Delta Maturity ist. Abbildung 1: EURUSD Implizite Volatilitäten (in Prozentpunkten) ab dem 12. Februar können sie verstehen, wo sich ihr Volatilitätsrisiko konzentriert. Die Möglichkeit eines solchen Vega-Bruchs ist ein deutlicher Vorteil des UVUR-Modells. Im Allgemeinen ist die Berechnung der geschöpften Empfindlichkeiten weder einfach noch möglich, wenn wir von der BS-Welt abfahren. Tatsächlich können klassische und weit verbreitete stochastische Volatilitätsmodelle, wie die von Hull and White (1987) oder Heston (1993), keine geschrumpften Empfindlichkeiten erzeugen. Ein Trader wird dann typischerweise gezwungen, auf eine gefährliche und unnatürliche Parameter-Hedging oder auf eine Gesamt-Vega-Hecke zurückzugreifen, die auf einer parallelen Verschiebung der impliziten Volatilitätsoberfläche basiert. In Abschnitt 7 werden wir zeigen, wie man einen Vega-Bruch berechnen kann und dementsprechend, wie man ein Buch von exotischen Optionen in Bezug auf Plain-Vanilla-Instrumente absichert. 5 Die Vorwärtsflüchtigkeitsoberflächen Die Qualität der Kalibrierung auf implizite Volatilitätsdaten ist in der Regel ein unzureichendes Kriterium für die Beurteilung der Güte einer Alternative zum BS-Modell. In der Tat interessiert sich auch ein Händler für die Entwicklung zukünftiger Volatilitätsoberflächen, die sich sowohl in der Preisgestaltung als auch vor allem bei der Absicherung exotischer Optionen stark auswirken werden. Sobald die deterministische (zeitabhängige) Volatilitätssigma und die Zinssätze rho d und rho f zur Zeit epsilon gezeichnet sind, wissen wir, dass sich das Modell (7) wie eine BS geometrische Brownsche Bewegung verhält und somit für jede gegebene flache implizite Volatilitätskurven führt Reife. Das ist sicherlich ein Nachteil des Modells. Allerdings verbessert sich die Situation sinnvoll, wenn wir die impliziten Volatilitätskurven betrachten. Eine vorangehende implizite Volatilität ist definiert als der Volatilitätsparameter, um in die BS-Formel für die Vorwärtsstartoption zu passen, um dem Modellpreis zu entsprechen. 8,9 rf 1, j sigma 1, j sigma 2, j 1W 9,82 9,23 15,72 2W 5,14 8,96 15,36 1M 5,47 8,90 15,21 2W 3,44 8,26 15,21 3W 2,84 7,79 14,72 6M 3,09 7,92 15,05 9M 3,11 7,96 14,90 1Y 2,79 7,81 15,13 2Y 3,02 7,51 15,44 Tabelle 4: Kalibrierte Parameter für jede Fälligkeit. 10 p 25 p 35 p ATM 35 c 25 c 10 c 1W 0.00 0.00 0.00 0.00 0.01 0.00 0.01 2W 0.00 0.00 0.00 0.00 0.01 0.00 0.01 1M 0.01 0.00 0.00 0.00 0.01 0.00 0.01 2M 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.01 3M 0.00 0.00 0.00 0.00 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0.00 Modell und Markt implizite Volatilitäten. Eine Vorwärtsstartoption mit Vorwärtsstartdatum T 1 und Fälligkeit T 2 ist eine Option, bei der der Ausübungspreis als Anteil Alpha des Spotpreises zum Zeitpunkt T 1 festgelegt wird. Im Falle eines Anrufs ist die Auszahlung zum Zeitpunkt T 2 S (T 2) alphas (t 1), dessen BS-Preis zum Zeitpunkt 0 S 0 P f (0, T 2) Phi ln P d (0, T 1) P f (0, T 2) 1 Sigma (T alphap d ( (T & sub1 ;, T & sub2;) & alpha;) T & sub2; T & sub1 ;, T & sub1;) T & sub2; (0, T & sub1;) Pf (0, T & sub1;) Pf (0, T & sub1;) Pf (0, T & sub1;) Pf (0, T & sub1;) Pf (0, (T & sub1 ;, T & sub2 ;, alpha), T & sub2; T & sub1 ;, wobei Sigma (t & sub1 ;, T & sub2 ;, alpha) die Vorwärtsflüchtigkeit für bezeichnet Das Intervall T 1, T 2 und Moneyness alpha. 9 (12) 10 12 th F ebruar2004 drei monatlich 1W 11,75 10,63 2W 11,60 10,63 1M 11,50 10,63 2M 11,25 10,64 3M 11,00 10,65 6M 10,87 10,66 9M 10,83 10,65 1Y 10,80 10,63 2Y 10,70 10,62 Tabelle 6: Vergleich zwischen ATM impliziten Volatilitäten ab 12 Februar 2004 und drei Monate vorwärts ATM implizite Volatilitäten. In Abbildung 2 zeigen wir die dreimonatige Vorwärtsflüchtigkeitsfläche, die durch die vorherige Kalibrierung impliziert wird. Eine solche Oberfläche ist die graphische Darstellung der Funktion Sigma (t 1, T 2, alpha) für verschiedene Werte von T 2 und alpha, wobei T 1 auf 0,25 (drei Monate) eingestellt ist. Für eine konsistentere Handlung und eine bessere Homogenität von Werten, ersetzten wir Alpha mit, so dass verschiedene Alpha s für verschiedene Laufzeiten. Das Alpha für die gegebene Reife T 2 und wurde als die Geldmäßigkeit der Plain-Vanille-Option mit der gleichen und der gleichen Zeit bis zur Fälligkeit T 2 T 1 berechnet. In Tabelle 6 vergleichen wir die ATM-Volatilitäten ab dem 12. Februar 2004 und die Dreimonatszeit Forward ATM implizite Volatilität. Das Niveau der Oberfläche, wie sich aus den ATM-Volatilitäten ergibt, hält eine regelmäßige Struktur. Die Form der Oberfläche sieht auch im Einklang mit dem ersten aus. Ähnliche Plots können durch die Betrachtung unterschiedlicher Vorwärtsstartdaten T 1 erhalten werden. Dies stellt eine starke empirische Unterstützung für das Modell (7) dar, da seine Vorwärtsflüchtigkeitsflächen regelmäßig und realistisch sind, da sie sich nicht zu sehr von der ersten unterscheiden. Als weiteres Beispiel zeigen wir in Abbildung 3 die Vorwärtsentwicklung des dreimonatigen impliziten Volatilitätslächelns. Zu diesem Zweck setzen wir T 2 T und betrachten die vorangehenden impliziten Volatilitätskurven für T 1. Die Evolution ist sinnvoll und realistisch auch in diesem Fall: Die Form des Lächelns hält die Features in der Regel auf dem Markt beobachtet. 6 Pricing exotische Optionen In diesem Abschnitt werden wir kurz das empirische Verfahren beschreiben, das von vielen Praktikern auf dem Markt verwendet wird, um implizite Volatilitätslächeln bei der Preisbildung von nicht zitierten Instrumenten Rechnung zu tragen. Wir werden auch die Preise von einigen exotischen Optionen, die mit der Marktpraxis mit denen erhalten werden, die aus dem UVUR-Modell mit N 2 kommen. Marktpraktiker neigen dazu, an einem BS-Konstant-Volatilitätsmodell zu bleiben, um exotische Optionen zu bezahlen, aber sie nehmen auch einige Regeln von Daumen, basierend auf Hedging-Argumenten, um 10 11 Delta Maturity einzuschließen Abbildung 2: Die dreimonatige Vorwärtsflüchtigkeitsfläche. Die flüchtige Oberfläche in die Preisgestaltung. Um mit einer lächelnden Volatilitätsoberfläche fertig zu werden, heben die Händler ihre Positionen ab, indem sie nicht nur in klassischen Griechen wie Delta, Gamma und Vega, sondern auch in einigen höheren Orden wie dem DVegaDvol (aka Volga) und dem DVegaDSpot (aka Vanna) ). Die Wolga misst die Empfindlichkeit der Vega der Option in Bezug auf eine Veränderung der impliziten Volatilität, während die Vanna die Empfindlichkeit der Vega in Bezug auf die Änderung des zugrunde liegenden Spotpreises misst. Die Wolga kann als eine Sensitivität in Bezug auf die Volatilität der impliziten Volatilität gedacht werden, während die Vanna als eine Sensitivität in Bezug auf die Korrelation zwischen dem zugrunde liegenden Vermögenswert und der impliziten Volatilität. Durch die Einstellung der Vega, der Vanna und der Wolga des abgesicherten Portfolios gleich Null, versuchen die Händler, das Modellrisiko zu minimieren, das sich aus der Verwendung von BS ergibt, was offensichtlich mit der Realität unvereinbar ist. Das Trader-Verfahren für die Preisgestaltung einer exotischen Option kann wie folgt zusammengefasst werden. Zuerst die Preise die Option mit der BS-Formel durch Einstecken in die ATM-Volatilität. Heshe berechnet dann die Option s Vega, Vanna und Wolga. Die damit verbundenen Forderungen können durch den Kauf und Verkauf von angemessenen Anzahl von Out-of-the-money und at-the-money Optionen abgesichert werden. Da die meisten liquiden Optionen für jeden Verfall die ATM-Anrufe (oder Puts) und die 25 Anrufe und Puts sind, werden die drei Forderungen schließlich durch Kombinationen solcher Optionen abgesichert. Sobald das Hedging-Portfolio gebaut ist, wird es mit den richtigen Markt-impliziten Volatilitäten bewertet, was seinen wahren Marktwert ergibt und dann mit einer konstanten Geld-Volatilität. Der Unterschied zwischen den beiden Werten wird dem BS-Preis der exotischen Option hinzugefügt und damit über das obige Absicherungsverfahren das Marktlächeln in die Preisgestaltung integriert. Dieses Add-on wird in der Regel durch die Überlebenswahrscheinlichkeit gewichtet, wenn eine Barrier-Option beteiligt ist. Dies ist soweit die Marktpraxis betroffen. Wir stellen nun zwei Beispiele vor, die 11 12 w 2w 1m 2m 3m 6m 9m 1y 2y Delta zeigen. Abbildung 3: Die dreimonatige implizite Volatilität lächelt ab verschiedenen Vorwärtszeiten. Dass exotische Optionen, die mit (7) impliziert werden, nicht wesentlich von denen abhängen, die durch das oben genannte Verfahren gegeben wurden. Dies kann als weiteres Argument für das UVUR-Modell angesehen werden. Die exotischen Optionen, die wir betrachten, sind zwei Barrier-Optionen: ein UpampOut-Aufruf und ein DownampOut-Set. Die Bewertung basiert auf den EURUSD-Marktdaten zum 31. März 2004 (siehe Tabelle 7), wobei der EURUSD-Kassakurs bei Wir den ersten Preis die beiden Optionen mit dem BS-Modell festgelegt hat, dann berechnen wir die entsprechenden Anpassungen nach dem Markt Daumen oben erklärt, und schließlich vergleichen die angepassten Preise mit denen im Zusammenhang mit dem UVUR-Modell. In der UVUR-Modellbarriere werden die Preise nach der Formel (10) konsequent berechnet, dh wir verwenden einfach eine Kombination von BS-Barrier-Optionsformeln, indem für jedes Szenario die integrierte Volatilität entsprechend dem Ablauf des Claims verrechnet wird. 7 Die Ergebnisse sind in Tabelle 8 dargestellt. Die erste Option ist ein EUR-Kallus-Put, Ablauf in 6 Monaten. Der BS-Preis ist US und die Anpassung an diesen theoretischen Wert ist positiv und gleich US. Das UVUR-Modell bewertet diese Option US. Die zweite Option ist ein EUR putusd Anruf geschlagen und ausgeklopft bei. Ablauf in 3 Monaten. Der BS-Preis ist US und in diesem Fall ist die Marktanpassung negativ und gleich US. Der UVUR-Preis ist wieder sehr nahe an dem, was durch die Praxis des Marktes impliziert wird. Das Modell scheint daher mit den Anpassungen und Preisen des Marktes im Einklang zu stehen, zumindest in der EURUSD 7 Diese Formel ist nicht genau, da die tatsächlichen BS-Barrier-Optionspreise von der gesamten Begriffsstruktur der momentanen Volatilität und nicht nur von ihrem Mittelwert abhängen . Allerdings können solche Preise nicht in geschlossener Form ausgedrückt werden und unsere Näherung erweist sich als äußerst genau in den meisten FX-Marktbedingungen. Ein vollständiger Katalog alternativer Approximationen für BS-Barrier-Optionspreise, in Gegenwart einer Begriffsstruktur der Volatilität, findet sich in Rapisarda (2003). 12 0 Sigma AT M Sigma RR Sigma VWBP d (0, T) P f (0, T) 1W 13,50 0,00 0,19 W 11,80 0,00 0,19 M 11,95 0,05 0,19 M 11,55 0,15 0,21 M 11,50 0,15 0,21 M 11,30 0,20 0,23 M 11,23 0,23 0,23 Y 11,20 0,25 0,24 Y 11,10 0,20 0,25 Tabelle 7: Marktdaten für EURUSD zum 31. März BS Wert BSAdj UVUR UpampOut Aufruf DownampOut put Tabelle 8: UVUR Modellpreise gegenüber BS und BS plus Marktanpassungen. Markt Fall. In Anwesenheit von steilen Schiefen wie im USDJPY-Markt kann sich jedoch die Übereinstimmung zwischen dem Marktverfahren und dem UVUR-Modell erheblich verschlechtern. Es gibt in der Tat besondere Kombinationen von Streiks und Barrierestufen, so dass die Korrekturen, die durch die beiden Ansätze impliziert werden, entgegengesetzte Zeichen haben. Man darf sich fragen, ob dies ein Hinweis darauf ist, dass das UVUR-Modell bestimmte Derivate missbraucht hat. Die Antwort scheint jedoch im Allgemeinen negativ zu sein. In der Tat, mit dem Heston (1993) - Modell als Referenz, wenn der UVUR-Preis deutlich anders ist als der, der durch den Marktansatz impliziert wird, ist der Heston-Preis definitiv mehr in Übereinstimmung mit dem früheren als dem letzteren. Dies ist ein weiteres Argument für das UVUR-Modell. Im nächsten Abschnitt zeigen wir, wie man das UVUR-Modell auch bei der Verwaltung eines Optionsbuches einsetzt. 7 Hedging eines Buches von exotischen Optionen Wie von Brigo, Mercurio und Rapisarda (2004) hervorgehoben, kann das Modell (7) effizient für die Bewertung eines ganzen Optionsbuches verwendet werden. Dies ist im Wesentlichen auf die Möglichkeit zurückzuführen, analytisch die meisten Derivate im Devisenmarkt zu bewerten. Unsere praktische Erfahrung ist, dass es ein paar Sekunden dauert, um ein Buch mit Optionen zu bewerten, die Hälfte davon Exotik, einschließlich der Zeit, die der Kalibrierung gewidmet ist. Dies ist eine unmögliche Aufgabe, mit jedem bekannten stochastischen Volatilitätsmodell zu erreichen. Die konsequente Bewertung seines Buches ist jedoch nicht die einzige Sorge um eine Option. Hedging ist in der Regel ein noch wichtigeres Thema zu adressieren. In diesem Abschnitt werden wir zeigen, wie wir mit dem Modell (7) Änderungen eines Portfolios s aufgrund von Änderungen der Marktvolatilitäten absichern können. Aus theoretischer Sicht ist das UVUR-Modell durch die Unvollständigkeit des Marktes gekennzeichnet, bedingt durch die Zufälligkeit der Volatilität des Vermögenswertes. Grundsätzlich kann daher eine bedingte Forderung durch den zugrunde liegenden Vermögenswert und eine gegebene Option abgesichert werden. In der Praxis gibt es jedoch mehrere Quellen der Zufälligkeit, die in der Theorie nicht richtig berücksichtigt werden. Aus diesem Grund bevorzugen die Händler alternative Absicherungsstrategien, wie sie auf Vega-Bucketing basieren, wie wir im Folgenden veranschaulichen. Wir haben bereits bemerkt, dass unter (7) ein Vega-Bruch möglich ist, dank der Modellfähigkeit der exakt reproduzieren die grundlegenden Volatilitätszitate. Die Empfindlichkeit eines gegebenen Exotischen zu einer gegebenen impliziten Volatilität wird leicht durch Anwendung des folgenden Verfahrens erhalten. Man verschiebt eine solche Volatilität um einen festen Betrag Sigma, sagen wir zehn Basispunkte. Man passt dann das Modell auf die geneigte Fläche und berechnet den Preis der exotischen, pi NEU, entsprechend den neu kalibrierten Parametern. Wenn wir mit dem Initialpreis des Exotischen bezeichnen, wird die Empfindlichkeit gegenüber der gegebenen impliziten Volatilität so berechnet wie: pi NEUES Pi INI Sigma Für eine bessere Sensitivität können wir auch den exotischen Preis unter einer Verschiebung von Sigma berechnen. Wenn jedoch Sigma klein genug ist (wenn auch nicht zu klein), ist die Verbesserung eher vernachlässigbar. In der Praxis kann es sinnvoller sein, die typischen Bewegungen des Marktes implizite Volatilitätskurven abzusichern. Zu diesem Zweck beginnen wir von den drei Grunddaten für jede Reife (der ATM und die beiden 25 Anruf - und Put-Volatilitäten) und berechnen die exotischen Sensitivitäten zu: i) eine Parallelverschiebung der drei Volatilitäten ii) eine Änderung in der Unterschied zwischen den beiden 25 Flügeln iii) eine Erhöhung der beiden Flügel mit fester ATM-Volatilität. 8 Auf diese Weise sollten wir in der Lage sein, die Wirkung einer Parallelen, einer Torsion und einer Konvexitätsbewegung der impliziten Flüchtigkeitsfläche zu erfassen. Sobald diese Empfindlichkeiten berechnet sind, ist es einfach, die verwandte Belichtung durch einfache Vanille-Optionen abzusichern, nämlich die ATM-Anrufe oder Puts, 25 Anrufe und 25 Puts für jeden Verfall. Ein weiterer Ansatz, der zur Absicherung genutzt werden kann, ist die klassische Parameter-Hedging. In diesem Fall berechnet man die Variationen des exotischen Derivatpreises in Bezug auf die Parameter des Modells, nämlich die Vorwärtsvolatilitäten und die ausländischen Terminkurse. Wir gehen davon aus, dass der Parameter lambda konstant ist. 9 Wenn wir eine Anzahl n von Absetzinstrumenten haben, die gleich der Anzahl der Parameter sind, können wir ein lineares System Ax b lösen, wobei b ein (n 1) Vektor mit den exotischen Empfindlichkeiten ist, die durch eine infinitesimale Störung der n Parameter erhalten werden, Und A ist die (nn) Matrix, deren i-te Zeile die Variationen der n Hedginginstrumente mit dem i-ten Parameter enthält. Die Instrumente, die wir verwenden, sind wie bisher der Geldautomat, 25 Anrufe und 25 8 Dies ist eigentlich gleichbedeutend mit der Berechnung der Empfindlichkeiten in Bezug auf die grundlegenden Marktzitate. 9 Dies kann durch die Tatsache gerechtfertigt werden, daß Lambda sich vorstellt, um die Konvexität der Flüchtigkeitsfläche zu bewältigen, die, wie sie durch den Schmetterling gemessen wird, typischerweise sehr stabil ist. Besides, the effect of a change in convexity is well captured also by the difference between the volatilities in the two scenarios (when N 2). 14 15 puts for each expiry. Since the model is able to perfectly fit the price of these hedging instruments, we have a one to one relation between the sensitivities of the exotic with respect to the model parameters, and its variations with respect to the hedging instruments. More formally, denoting by pi the exotic option s price, by p the model parameters vector and by R the market s data vector, we have: dpi dr pi R pi p p R Exact calibration allows therefore an exact calculation of the matrix p R. We now show how the barrier options of the previous section can be hedged in terms of plain vanillas under both the scenarios and parameter hedging procedures, presenting also a BS based hedging portfolio for both options. Using again the market data as of 31 March 2004, we assume that both exotics have a nominal of 100,000,000 US and calculate the nominal values of the ATM puts, 25 calls and 25 puts that hedge them. Table 9 shows the hedging portfolio suggested by the BS model: the hedging plain vanilla options have the same expiry as the related barrier option and their quantities are chosen so as to zero the overall Vega, Vanna and Volga. In Table 10 we show the hedging quantities calculated according to the UVUR model with the scenario approach. The expiry of the hedging plain vanilla options is once again the same as that of the corresponding barrier options. It is noteworthy that both the sign and order of magnitude of the hedging options are similar to those of the BS model. 25 put 25 call ATM put UpampOut call 79,008,643 54,195. 556,533 DownampOut put -400,852. 348. 163,095 Table 9: Quantities of plain vanilla options to hedge the barrier options according to the BS model. 25 put 25 call ATM put UpampOut call 76,409,972 42,089. 796,515 DownampOut put -338,476. 078. 195,436 Table 10: Quantities of plain vanilla options to hedge the barrier options according to the UVUR model with the scenario approach. In the last two Tables 11 and 12 we show the results for the parametric approach. In this case, the hedging portfolio is made of all the options expiring before or at the exotic s maturity, though the amounts are all negligible but the ones corresponding to the maturity of the barrier option. Also in this case, signs and order of magnitude of the hedging amounts seem to agree with those obtained under the BS model and the UVUR 15 16 model with a scenario approach. This should be considered as a further advantage of the UVUR model, both in terms of market practice and ease of implementation. 25 put 25 call ATM put 1W W M M M M 77,737,033 44,319. 151,192 Table 11: Quantities of plain vanilla options to hedge the six-month UpampOut call according to the UVUR model with the parametric approach. 25 put 25 call ATM put 1W W M M M -334,326. 863. 433,268 Table 12: Quantities of plain vanilla options to hedge the three-month DownampOut put according to the UVUR model with the parametric approach. 8 Conclusions Asset price models where the instantaneous volatility is randomly drawn at (an infinitesimal instant after) the initial time are getting some popularity due to their simplicity and tractability. We mention, for instance, the recent works of Brigo, Mercurio and Rapisarda (2004) and Gatarek (2003), who considered an application to the LIBOR market model. Alternatives where subsequent draws are introduced have been proposed by Alexander, Brintalos and Nogueira (2003) and Mercurio (2002). At the same time, these models encounter some natural criticism because of their very formulation, which seems to make little sense from the historical viewpoint. In this article, however, we try to demonstrate the validity of the above uncertain volatility models, focusing in particular on that proposed by Brigo, Mercurio and Rapisarda (2004). We verify that such a model well behaves when applied to FX market data. Precisely, we show that it leads to a very good fitting of market volatilities, implies realistic forward volatilities, and allows for a fast and consistent valuation and hedge of a typical options book. 16 17 Our tests on the model are indeed encouraging and may help in addressing the above natural criticism. We in fact believe that a model should be judged not only in terms of its assumptions but also in terms of its practical implications. Appendix A: the price of an up-and-out call The price at time t 0 of an up-and-out call (UOC) with barrier level H gt S 0, strike K and maturity T under model (7) is (approximately) given by N lambda i S 0 e c 1c 2 c 3 ln S 0 K Phi c ) ( 1 2c 2 ln S 0 Phi c ) H 1 2c 2 2c2 2c2 i1 ( Ke c 3 ln S 0 K Phi c ) ( 1 ln S 0 Phi c ) H 1 He c 3(beta 1)(ln S 0 H c 1 )(beta 1) 2 c 2 2c2 2c2 ( ln S 0 H Phi c ) ( ) 1 2(beta 1)c 2 ln S 0 K c H Phi (beta 1)c 2 2c2 2c2 Ke c 3beta(ln S 0 H c 1 )beta 2 c 2 Phi ( ln S 0 c ) H 1 2betac 2 Phi 2c2 ( ln S 0 K ) c H betac 2 , 2c2 where 1 denotes the indicator function of the set A, and c 1 c i 1 : Ri d (0, T ) R f i (0, T ) 1V 2 2 i (0, T ) c 2 c i 2 : 1V 2 2 i (0, T ) c 2 c i 3 : Ri d (0, T ) beta beta i : 2 R x i (t, T ) : V 2 i (t, T ) : T T t T t 0 Rd i (t, T ) R f i (t, T ) 1V 2 2 i (t, T )Vi 2 (t, T ) dt r x i (s) ds, sigma 2 i (s) ds T V 4 0 i x , (t, T ) dt For a thorough list of formulas we refer to Rapisarda (2003). 10 (13) References 1 Alexander, C. Brintalos, G. and Nogueira, L. (2003) Short and Long Term Smile Effects: The Binomial Normal Mixture Diffusion Model. ISMA Centre working paper. 10 These formulas, including the above (13), are only approximations, since no closed-form formula is available for barrier option prices under the BS model with time-dependent coefficients. 17 18 2 Black, F. and Scholes, M. (1973) The Pricing of Options and Corporate Liabilities. Journal of Political Economy 81, 3 Brigo, D. and Mercurio, F. (2000) A mixed-up smile. Risk September, 4 Brigo, D. Mercurio, F. and Rapisarda, F. (2004) Smile at the uncertainty. Risk 17(5), 5 Castagna, A. and Mercurio, F. (2004) Consistent Pricing of FX Derivatives. Internal report. Banca IMI, Milan. 6 Gatarek, D. (2003) LIBOR market model with stochastic volatility. DeloitteampTouche. Available at: 7 Heston, S. (1993) A Closed Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options. Review of Financial Studies 6, 8 Hull, J. and White, A. (1987) The Pricing of Options on Assets with Stochastic Volatilities. Journal of Financial and Quantitative Analysis 3, 9 Mercurio, F. (2002) A multi-stage uncertain-volatility model. Internal report. Banca IMI, Milan. Available at 10 Rapisarda, F. (2003) Pricing barriers on underlyings with timedependent parameters. Banca IMI internal report. Available at 18FX Options and Smile Risk Description Practical issues in FX options and smile risk FX Options and Smile Risk takes readers through the main technicalities of the FX spot and options markets, helping them develop practical trading skills that will enable them to run an FX options book in the real world. Es beschreibt, wie man FX-Volatilitätsflächen in robuster und konsequenter Weise baut und wie man sie bei der Preisgestaltung von Vanille und exotischen Optionen einsetzt. Es ermöglicht es den Lesern, die Exposition gegenüber der Volatilitätsoberfläche und anderen Risiken im Zusammenhang mit exotischen Optionen effektiv abzusichern. Es konzentrierte sich sehr auf die praktischen Aspekte der Preisgestaltung und Absicherung der typischen Risiken eines FX-Optionsschalters und befasst sich mit den entscheidenden Fragen des Aufbaus konsistenter Volatilitätsmatrizen und eines einheitlichen Ansatzes zur Preisgestaltung und Absicherung. Antonio Castagna (Mailand, Italien) ist Berater bei Iason Ltd und bietet Preis - und Risikomanagement-Kompetenz für komplexe Produkte. Er hat umfangreiche Erfahrung in FX und Derivaten und war zuvor Head of Volatility Trading bei Banca IMI Mailand, wo er die Bank039s FX Option Schreibtisch einstellte. show mehr Produktdetails Format Hardback 330 Seiten Abmessungen 177.8 x 256.54 x 25.4mm 725.74g Erscheinungsdatum 08 Feb 2010 Herausgeber John Wiley und Sons Ltd Impressum John Wiley amp Sons Ltd Publikation CityCountry Chichester, Großbritannien Sprache Englisch Edition Statement 1. Auflage Illustrationen Hinweis schwarzer Ampere weiß Illustrationen ISBN10 0470754192 ISBN13 9780470754191 Bestseller Rang 390,636 Kunden, die diesen Artikel gekauft haben, kauften auch über Antonio Castagna Antonio Castagna ist derzeit Partner und Mitbegründer des Beratungsunternehmens Iason ltd und unterstützt die Finanzinstitute bei der Gestaltung von Modellen, um komplexe Derivate zu bewerten und eine Vielzahl von Risiken einschließlich Kredit - und Liquidität zu messen. Antonio schloss sein Studium an der LUISS Universität, Rom, 1995 mit einer Dissertation über amerikanische Optionen und die numerischen Verfahren für ihre Bewertung ab. Er begann seine Karriere im Investment Banking in der IMI Bank, Luxemborug, als Finanzanalytiker in der Abteilung für Risikocontrolling, bevor er zum Banca IMI, Mailand, zum ersten Mal als Market Maker von Capfloors und Swaptions zog, bevor er den FX Options Desk aufstellte und den Buch von einfacher Vanille und exotischen Optionen auf die wichtigsten Währungen, während auch verantwortlich für die gesamte FX Volatilität Handel. Antonio hat eine Reihe von Papieren über Kreditderivate geschrieben, die Verwaltung von exotischen Optionsrisiken und Volatilitätslächeln. Er ist oft zu akademischen und post-graduierten Kursen eingeladen. show mehr 034Das nächste Generation FX Options Buch ist angekommen: Antonio Castagna hat viele Jahre seiner praktischen Erfahrung im Trading Floor von Banca IMI geschrieben. Es ist eine wertvolle Sammlung von wichtigen Ideen über die FX-Lächeln-Oberfläche und Absicherung der Exotik der ersten Generation. Ich bin sehr bitte Antonio hat sich Zeit genommen, seine intuitiven Einsichten zu teilen. - Wir haben Wystup, Geschäftsführer der MathFinance AG 034Wenn Sie sich wirklich für Hard Science und Technologie von FX Optionsmarkt interessieren, ist dies wahrscheinlich die beste Quelle, aus der Sie lernen können - Die meisten Bücherinhalte gehen weit über alles hinaus, was in anderen Monographien zu demselben Thema zu finden ist. Stark empfohlen034 - Dariusz Gatarek, Nationalbank von Polen, Berater des Vorstandes 034Antonio Castagna formalisiert die Prinzipien und Konzepte, die er während seiner Handelsaktivität auf dem Devisenmarkt verwendet hat, eine wichtige Assetklasse, die gelegentlich nicht die Aufmerksamkeit erhält, die sie verdient hat . Die Aufmerksamkeit wird auf eine breite Palette von Themen gelegt, die ein breites Spektrum zwischen Theorie und Praxis, von Marktzitierungskonventionen bis hin zu Volatilitätsoberflächen, Veränderung von Maßtechniken, dynamischen Arbitrage-freien Modellen, Absicherung und Risikoanalyse. Unter den zahlreichen Techniken, die zur Vermittlung von Volatilitätslücken konsequente Preisgestaltung vorgelegt wurden, bin ich froh, dass die Mischungsdynamik, einer der wenigen tragbaren Ansätze, wo die Markovian Projektion explizit ist und in der Mischung Diffusion und die unsicheren Volatilitätsmodelle realisiert wird, gegeben wurde Auffällige Ergebnisse in der Korrelation zwischen Volatilität und Basiswert in der projizierten Diffusionsversion. Insgesamt ist dies ein interessantes und eklektisches Buch für Leser, die daran interessiert sind, ihr Wissen über den FX Volatilitätsmarkt zu erlernen oder zu erweitern034 - Damiano Brigo, Geschäftsführer, FitchSolutions, Londonshow mehr Inhaltsverzeichnis Vorwort. Notation und Akronyme. 1 Der Devisenmarkt. 1.1 FX-Raten und Spotkontrakte. 1.2 Voll - und FX-Swap-Verträge. 1.3 FX Optionsverträge. 1.4 Hauptgehandelte FX-Optionsstrukturen 2 Preismodelle für FX-Optionen. 2.1 Grundsätze der Optionsprüfungstheorie 2.2 Das schwarz-scholes-Modell. 2.3 Das Heston-Modell 2.4 Das SABR-Modell. 2.5 Der Mischungsansatz. 2.6 Einige Überlegungen zur Wahl des Modells. 3 Dynamic Hedging und Volatility Trading. 3.1 Vorbemerkungen 3.2 Ein allgemeiner Rahmen. 3.3 Hedging mit einer konstanten impliziten Volatilität. 3.4 Hedging mit einer aktualisierten impliziten Volatilität. 3.5 Hedging Vega 3.6 Hedging Delta, Vega, Vanna und Wolga. 3.7 Das flüchtige Lächeln und seine Phänomenologie. 3.8 Lokale Exposition gegenüber dem Volatilitätslächeln 3.9 Szenario-Hedging und ihre Beziehung zur Vanna-Wolga-Absicherung. 4 Die Volatilitätsoberfläche. 4.1 Allgemeine Definitionen 4.2 Kriterien für eine effiziente und bequeme Darstellung der Flüchtigkeitsfläche. 4.3 Gemeinsame Ansätze für den Aufbau einer Flüchtigkeitsfläche. 4.4 Interpolation zwischen Streiks: Vanna-Wolga-Ansatz. 4.5 Einige Merkmale des Vanna-Wolga-Ansatzes. 4.6 Eine alternative Charakterisierung des Vanna-Wolga-Ansatzes. 4.7 lächelnde Interpolation unter den Ausfällen: implizite Volatilitäts-Term-Struktur. 4.8 Zulässige Flüchtigkeitsflächen 4.9 Berücksichtigung des Marktschmetterlings. 4.10 Aufbau der Volatilitätsmatrix in der Praxis 5 Plain Vanilla Optionen. 5.1 Preisgestaltung von Plain-Vanille-Optionen. 5.2 Marktwerkzeuge 5.3 Bidask breitet sich für einfache Vanilleoptionen aus. 5.4 Abschaltzeiten und Spreads. 5.5 Digitale Optionen. 5.6 American Plain Vanille Optionen. 6 Barrier-Optionen. 6.1 Eine Taxonomie der Barrieremöglichkeiten. 6.2 Einige Beziehungen der Barrier-Optionspreise. 6.3 Preisgestaltung für Barrier-Optionen in einer BS-Wirtschaft 6.4 Preisformeln für Barrier-Optionen. 6.5 One-Touch - (Rabatt-) und No-Touch-Optionen. 6.6 Double-Barrier-Optionen. 6.7 Double-No-Touch - und Double-Touch-Optionen. 6.8 Wahrscheinlichkeit, eine Barriere zu treffen. 6,9 griechische Berechnung. 6.10 Preisschrankenoptionen in anderen Modelleinstellungen. 6.11 Preisschranken mit Nicht-Standardlieferung. 6.12 Marktansatz für Preisschrankenoptionen 6.13 Bidask breitet sich aus. 6.14 Überwachungshäufigkeit 7 Andere exotische Optionen. 7.1 Einleitung. 7.2 Ausfallbarriereoptionen. 7.3 Fensterbarriereoptionen. 7.4 Erst-dann und Knock-in-Knock-out Barriere Optionen. 7.5 Auto-Quanto-Optionen. 7.6 Startoptionen weiterleiten 7.7 Varianz-Swaps 7.8 Zusammengesetzte, asiatische und Lookback-Optionen. 8 Risikomanagement-Tools und - Analyse. 8.1 Introduction. 8.2 Umsetzung des LMUV-Modells. 8.3 Instrumente der Risikoüberwachung. 8.4 Risikoanalyse von einfachen Vanilleoptionen. 8.5 Risikoanalyse von digitalen Optionen. 9 Korrelations - und FX-Optionen. 9.1 Vorbemerkungen 9.2 Korrelation in der BS-Einstellung. 9.3 Verträge abhängig von mehreren FX-Spot-Raten. 9.4 Umgang mit Korrelation und Volatilität Lächeln. 9.5 Verknüpfung von Volatilitätslächeln Referenzen. Index. show moreConsistent Pricing and Hedging of an FX Options Book Mercurio Fabio Product and Business Development and FX Options Trading, Banca IMI In the foreign exchange (FX) options market away-from-the-money options are quite actively traded, and quotes for the same type of instruments are available everyday with very narrow spreads (at least for the main currencies). This makes it possibleto devise a procedure for extrapolating the implied volatilities of non-quoted options, providing us with reliable data to which to calibrate our favorite model. In this article, we test the goodness of the Brigo, Mercurio and Rapisarda (2004) model as far as some fundamental practical implications are concerned. This model, which is based on a geometric Brownian motion with time-dependent coefficients that are not known initially and whose value is randomly drawn at an infinitesimal future time, can accommodate very general volatility surfaces and, in case of the FX options market, can lead to a perfect fit to the main volatility quotes. We first show the fitting capability of the model with an example from real market data. We then support the goodness of our calibration by providing a diagnostic on the forward volatilities implied by the model. We also compare the model prices of some exotic options with the corresponding ones given by a market practice. Finally, we show how to derive bucketed sensitivities to volatility and how to hedge accordingly a typical options book. In the foreign exchange (FX) options market away-from-the-money options are quite actively traded, and quotes for the same type of instruments are available everyday with very narrow spreads (at least for the main currencies). This makes it possibleto devise a procedure for extrapolating the implied volatilities of non-quoted options, providing us with reliable data to which to calibrate our favorite model. ltbrgt In this article, we test the goodness of the Brigo, Mercurio and Rapisarda (2004) model as far as some fundamental practical implications are concerned. This model, which is based on a geometric Brownian motion with time-dependent coefficients that are not known initially and whose value is randomly drawn at an infinitesimal future time, can accommodate very general volatility surfaces and, in case of the FX options market, can lead to a perfect fit to the main volatility quotes. ltbrgt We first show the fitting capability of the model with an example from real market data. We then support the goodness of our calibration by providing a diagnostic on the forward volatilities implied by the model. We also compare the model prices of some exotic options with the corresponding ones given by a market practice. Finally, we show how to derive bucketed sensitivities to volatility and how to hedge accordingly a typical options book. ltbrgt The Kyoto University economic review The Kyoto University economic review 74(1), 65-83, 2005 Graduate School of Economics, Kyoto University